[24313] 백준 문제풀이 - 알고리즘 수업 - 점근적 표기 1

https://www.acmicpc.net/problem/24313

문제

오늘도 서준이는 점근적 표기 수업 조교를 하고 있다. 아빠가 수업한 내용을 학생들이 잘 이해했는지 문제를 통해서 확인해보자.

알고리즘의 소요 시간을 나타내는 O-표기법(빅-오)을 다음과 같이 정의하자.

O(g(n)) = {f(n)

모든 n ≥ n0에 대하여 f(n) ≤ c × g(n)인 양의 상수 c와 n0가 존재한다}

이 정의는 실제 O-표기법(https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation)과 다를 수 있다.

함수 f(n) = a1n + a0, 양의 정수 c, n0가 주어질 경우 O(n) 정의를 만족하는지 알아보자.

입력

첫째 줄에 함수 f(n)을 나타내는 정수 a1, a0가 주어진다. (0 ≤ |ai| ≤ 100)

다음 줄에 양의 정수 c가 주어진다. (1 ≤ c ≤ 100)

다음 줄에 양의 정수 n0가 주어진다. (1 ≤ n0 ≤ 100)

출력

f(n), c, n0가 O(n) 정의를 만족하면 1, 아니면 0을 출력한다.

풀이

조건을 보고 풀이를 생각해야한다.

1. $g(n) = n$ 으로 고정이다 $f(n) = a_1*n + a_0$ 이므로 $O(g(n)) = n$ 이다
   

2. 조건들

   1. $ 0<=

      a_i

      <=100$

   2. $ 1<=c<=100$
   3. $ 1<=n_0<=100$
      

이 때 i. 의 조건에서 $a_i$는 절댓값이다 즉, $a_i$는 음수도 될 수 있다.

처음에 이 조건을 생각하지 않고 코드를 작성하면 문제풀이 90~ 쯤에 오답처리 된다.

1. $ a_1n+a_0 <= cn$, $n>=n_0$ 문제에서 위 두 가지 부등식을 만들어 낼 수 있다. 그리고 이 두 가지 부등식으로
   1. $a_1*n_0 + a_0 <= c * n_0$ 에서
   2. $(a_1 - c)n_0 + a_0 <= 0$ 로 바꿔쓸 수 있고
   3. 2번의 조건을 그래프로 그려보면 f(n)의 기울기가 c보다 클 경우 ($a_1$이 c보다 클 경우) 조건을 만족하지 않기 때문에 $a_1 <= c$라는 조건이 나오게 된다.

# O(g(n)) = {f(n) | 모든 n >= n_0에 대하여 f(n) <= c * g(n)인 양의 상수 c와 n_0이 존재함}
# >> n_0보다 큰 n에 대하여 f(n)이 c*g(n)보다 작거나 같음
# f(n) = a1*n + a0
a_1, a_0 = map(int, input().split(" "))
c = int(input())
n_0 = int(input())

# 7 7 8 1 예제 1) f(n) = 7n + 7, g(n) = n, c = 8, n0 = 1이다. f(1) = 14, c × g(1) = 8이므로 O(n) 정의를 만족하지 못한다.
# 7 7 8 10 예제 2) f(n) = 7n + 7, g(n) = n, c = 8, n0 = 10이다. 모든 n ≥ 10에 대하여 7n + 7 ≤ 8n 이므로 O(n) 정의를 만족한다.
# a_i 는 절댓값 0~100 이므로 음수가 될 수도 있음

if (a_1 * +n_0 + a_0) <= c * n_0 and a_1 <= c:
    print(1)
else:
    print(0)