[2903] 백준 문제풀이 - 중앙 이동 알고리즘

https://www.acmicpc.net/problem/2903

문제

상근이는 친구들과 함께 SF영화를 찍으려고 한다. 이 영화는 외계 지형이 필요하다. 실제로 우주선을 타고 외계 행성에 가서 촬영을 할 수 없기 때문에, 컴퓨터 그래픽으로 CG처리를 하려고 한다.

외계 지형은 중앙 이동 알고리즘을 이용해서 만들려고 한다.

알고리즘을 시작하면서 상근이는 정사각형을 이루는 점 4개를 고른다. 그 후에는 다음과 같은 과정을 거쳐서 지형을 만든다.

정사각형의 각 변의 중앙에 점을 하나 추가한다. 정사각형의 중심에 점을 하나 추가한다. 초기 상태에서 위와 같은 과정을 한 번 거치면 총 4개의 정사각형이 새로 생긴다. 이와 같은 과정을 상근이가 만족할 때 까지 계속한다.

아래 그림은 과정을 총 2번 거쳤을 때까지의 모습이다.

상근이는 어떤 점은 한 개 보다 많은 정사각형에 포함될 수 있다는 사실을 알았다. 메모리 소모량을 줄이기 위해서 중복하는 점을 한 번만 저장하려고 한다. 과정을 N번 거친 후 점 몇 개를 저장해야 하는지 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 15)

출력

첫째 줄에 과정을 N번 거친 후 점의 수를 출력한다.

풀이

그림에서 어떤 규칙성을 찾으면 된다. 초기 상태(점 4개)에서의 한 변에 있는 점의 갯수는 꼭짓점을 포함해 2개이다. 그리고 다음 1번으로 진행했을 때의 점의 갯수는 9개이고 한 변의 점의 갯수는 9개다. 다음 2번에는 25개 이걸 수식으로 나타내면 $x*2-1$가 나온다.

즉, 1번 증가할 때마다 한 변의 점의 갯수는 $x*2-1$만큼 증가한다. 이걸 코드로 짜면 아래와 같고 정사각형이므로 제곱을 해주면 문제를 풀 수 있다.

# 1번 증가할 때마다 한 변의 점의 갯수는 x*2-1

dot = 2  # 초기 상태의 한 변의 점의 갯수
N = int(input())
for i in range(1, N + 1):
    dot = dot * 2 - 1

print(dot**2)