[수학 개념] ∑ 시그마의 뜻과 성질

2024/01/06

$\sum$ 시그마란?

시그마라고 불리는 이 수학 기호$\sum$는 순차적으로 정해진 값을 더하는 기호로 사용된다. 간단하게 말해서 값을 계속해서 더해나가는 기호라고 보면 된다.

\[\displaystyle\sum_{k=1}^{3}{(2k-1)} = (2-1)+(4-1)+(6-1) = 1 + 3 + 5\]

k=1 시그마 기호의 아래에 있는 수의 의미는 시작 숫자를 알려준다. 예를 들어 위 식에서 k=2로 바뀐다면 k는 2부터 시작해 (2*2-1)+(2*3-1)이라는 뜻이다.
3 시그마 기호의 위에 있는 수의 의미는 끝 숫자를 알려준다. 여기서는 3이기에 k를 3까지만 넣고 덧셈을 끝내는 것이다.
(2k-1) 위의 1, 2번을 살펴보면 (2k-1)을 k를 1부터 3까지 더해주세요~라는 뜻이 된다. 이 때 ‘k’자리에 시작 숫자를 넣어주면 되는데, 만약 k가 아니고 (2n-1)이었다면 단순히 $\displaystyle\sum_{k=1}^{3}{(2n-1)}=(2n-1)+(2n-1)+(2n-1)=6n - 3$ 이 된다.

시그마에는 여러가지 성질 또한 존재한다. 정확히는 오른쪽 항에 대한 성질인데, 합의 기호이다보니 +, -와 비슷한 성질(선형성)을 가지고 있다. 이 때 시그마의 기호가 같아야 한다. 무슨말이냐면, 시그마의 밑과 위가 같아야 한다

더하기(+) 빼기(-)에 자유롭다.
1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_k + b_k} = \sum_{k=1}^{n}{a_k} + \sum_{k=1}^{n}{b_k}$
2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_k - b_k} = \sum_{k=1}^{n}{a_k} - \sum_{k=1}^{n}{b_k}$

변수가 아닌 상수는 밖으로 뺄 수 있다. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{c·a_k} = c\sum_{k=1}^{n}{a_k}$ 상수를 밖으로 빼낼 수도, 안으로 들여올 수도 있다.

상수만 있는 시그마는 상수는 단순 곱셈으로 바꿀 수 있다. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{c} = c·n$ 주의해야 할 점은, $\displaystyle\sum_{k=3}^{n}{c} = c·n$과 같은 시그마가 나온다면 k가 3부터 시작했으므로 정답은 $c·n$이 아닌 $c·(n-2)$이다. 항의 갯수를 곱한다!!가 핵심 개념인 듯 싶다.
시그마의 시작 수를 1로 만들 수 있다. $\displaystyle\sum_{k=m}^{n}{a_k} = \sum_{k=1}^{n}{a_k} - \sum_{k=1}^{m-1}{a_k} (단, n>m>1)$ k=1로 만드는 이유는 k가 1일 경우 계산하기가 편하기 때문이다. 증명은 일일이 다 풀어보면 증명할 수 있다. 이 변환공식 또한 유용하게 쓰인다.

수학문제를 쉽게 풀기 위해, 혹은 코드를 작성할 때 프로그램의 능률을 올리기 위해 여러 반복문이 들어갈 자리에 수학 공식으로 대체해 줄 수 있다. 시그마 또한 쉽게 풀 수 있는 공식들이 존재한다.

물론 위 식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

다음은 연속된 수의 곱에 대한 공식이다. 알아두면 필시 시그마에 대한 문제를 해결할 때 도움이 된다.

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k(k+1)} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ 이건 연속된 두 수의 곱은 연속된 세 수의 곱/3을 해주면 되는구나! 라고 생각하면 되고
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k(k+1)(k+2)} = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$ 이건 연속된 세 수의 곱은 연속된 네 수의 곱/4를 해주면 되는구나! 라고 생각해주면 쉽게 외울 수 있다.